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邏輯基礎新探之消解悖論

撰文:袁方文

 

摘要內容:本文通過對悖論的通行解釋的質疑,指出千百年來人類在對歷來公認的“悖論”的理解,其實是混存著理解者自身存在的未求甚解的混亂理解——悖解——對錯誤問題的錯誤理解;從而通過增加新的約律,全面消解各種類型的悖論。並指出邏輯地消解悖論對重塑人類思維健全性的信心無疑是極為重要的,然而更為重要的是健全消弭悖論的邏輯系統。

關鍵詞:邏輯  基礎  消解  悖論

 


1       一、引言

一提到悖論,對邏輯學熱忱關注的人常常會產生憂鬱、煩悶或者遺恨、惶惑等等類似的情緒,甚至視其為令人喪失信心的幻滅性災難。最嚴重的,據說莫過於相傳公元前古希臘有一位詩人和文法家,因為“說謊者悖論”積勞成疾、抑鬱而亡的悲劇故事了。二千多年來,也許再沒有人為之“獻生”了,但苦苦冥想、癡癡求索的夙願仍在。實際上,最困惑人的往往也正是最激發人的。邏輯悖論可以說是這種現象的典範。對人類思維的“無矛盾性”有完美主義祈望的人們,對悖論的思考、研究,除了對邏輯學自身,還對哲學,數學,語義、語用、釋義學,人工智能機器開發及應用,甚至對物理學、倫理學以及人類思維本質都產生了極為廣泛而深遠的影響。

儘管從古希臘亞堣h多德的《辯謬篇》、古羅馬時期修辭學者、注釋家們開創的類演算,到近現代的類型論、分支類型論,“語言層次論”,多值邏輯系統,乃至近三十年來的“悖論邏輯”新思潮,都從不同角度對悖論進行了不同程度的消解,然而,在有著悠久歷史的消解悖論氛圍成長起來的西方當代邏輯學家,大多仍然堅持認為,無論是傳統形式邏輯,還是現代數理邏輯、辨證邏輯,都沒有真正解決悖論問題。美國邏輯學家斯萊特在1984年4月《美國哲學季度刊》上這樣評論:“羅素、策梅羅,.......等人的集合理論實在說不上是‘解決了’羅素悖論。他們的種種‘應急’措施,還是叫做‘躲避’悖論的措施為妥”。有人認為這段評論幾乎可以算是,對現代悖論研究在一定程度上的總結。而英國的麥克伊在《真理、蓋然性和悖論》一書中呼籲:我們所需要的不是躲避悖論的某些方法,而是對悖論的一個總的理解:一個哲學上的解釋。本文正是循著這一宗旨進行探索的——並期盼在此基礎上能夠抛磚引玉出對邏輯系統的新探索。

本文在對悖論的通行解釋進行質疑思考的基礎上,通過提出新的“約律”,指出悖論所“悖”的原因,不過是千百年來人類在對歷來公認的“悖論”的理解,其實是混存著理解者自身存在的未求甚解的混亂理解——悖解;或者說,悖論所“悖”的原因就是:對錯誤問題的錯誤理解。

 

2   二、部分典型悖論的通行解釋質疑

一)、說謊者悖論的通行解釋質疑

古希臘麥加拉學派的哲人伊壁孟德(Epimenides)針對當時的形式邏輯提出過一個責難性的“說謊者”難題,這個難題現在被稱作“說謊者悖論”,並被劃歸為語義悖論。有人把這個悖論稱作“所有邏輯悖論的老祖宗”,認為是目前西方邏輯學家和哲學家公認最難解決的悖論。這一悖論的最簡單形式是(為保持行文一致和便利,所列悖論選自

  不同文獻,不同文獻來源內容當無差異):

“我在說謊。”

問題是,要對這句話本身作出回答,它究竟是真話還是謊話?按照通行的字面意義理解,如果認定說話人的確在說謊,則根據內容理解這句話屬於真話;然而,說這句話的人已經被認為在說謊了;顯然,前後矛盾。反過來,如果認定說話人沒有說謊而是在說真話,則根據內容理解這句話又成為謊話;同樣,也前後矛盾。從而成為邏輯上自相矛盾的悖論。

那麽,這句話真的應該這麽理解嗎?問題不是這麽簡單。

首先,需要對“我在說謊”這句話作出語義上的明確。

“我”和“在”足夠明確,“我”是說話人:“在”是現時的狀態。關鍵在於“說謊”是什麽意思?從語義上解釋,“說謊”是指對事實情況說了“不真實”的話。而“事實情況”的含義是指已經存在的、真實與否業已判明的既成事實。

把“我在說謊”整句話的語義連起來相當於,說話人現時說了對事實情況不真實的話。

現在要問:如果要對“這句話自身究竟是真話還是謊話”作出回答,這句話所指向的不真實的對應“事實情況”是什麽?這句話對所指向的“事實情況”說的“不真實的話”的不真實又是怎麽表現的?

按照通行的解釋“事實情況”就是“我在說謊”這一行為或者表現。而“我在說謊”卻是正待判明的情況,而非“已經存在的、真實與否業已判明的既成事實”。這就是說,要回答“我在說謊” 這句話自身究竟是真話還是謊話,相當於就是要對“我在說謊”這句自身“事實”不清的話作出“事實”清不清——的回答。而對一個自身“事實”尚且不清的問題又怎麽可能作出明確的“真實”或者“不真實”回答呢?

換言之,要對“說謊者悖論”問題回答是“真話”或“假話”,實質上是在要求回答一個沒有明確答案,或者說在是要求回答一個答案正待明確的問題而導致的混亂。

 

二)、羅素悖論的通行解釋的質疑

羅素悖論屬於邏輯悖論,一直被認為是一系列同類悖論中最有代表性、最剝脫數學技術性、簡捷揭示集合論和邏輯學“悖”性的邏輯悖論,也是最讓數學界和邏輯學界共同感到危機感和幻滅感的悖論。羅素悖論最簡明的表述是

“一切不是自己分子的類所組成的類。”             

問題是,把這個類取名為X,X是不是自己的分子呢?按照通行的解釋,如果認定X是自己的分子,根據X的定義,它不應該是自己的分子;反之,如果認定X不是自己的分子,那麽它應屬於不是自己的一個分子的類中的一個,根據定義它就應該是自己分子的一個分子。從而成為邏輯上自相矛盾的悖論。

羅素悖論的組成極為簡單:除了“一切”和“自己”兩個顯示範圍只有類、分子和組成三個核心概念。因為極其簡單也就極為突出地暴露了問題的實質。羅素悖論的出現,進一步激發了他自己對悖論問題深入研究的興趣,並得出一個極為寬泛的結論:一切悖論的共同特徵是自我指稱或自返性;悖論之所以發生是由於某種惡性循環引起的。為了避免這種錯誤,他結合彭加勒關於悖論根源於非直謂定義的思想,提出了“惡性循環原則”:“凡是涉及一個集體的總體對象,它本身不是該集體的成員;反之,假如一個集體有一個總體,該集體又含有只能由它的總體來定義的成員,則該集體必定沒有總體。”

實際上,“惡性循環原則”並沒有避開羅素悖論,而是揭示了它的問題所在。

羅素悖論的根源在於一個構想,“是自己分子的類組成的類”-------也即“所有集合組成的集合”。問題也恰恰在這個根源上。

首先,考慮對★句的組成進行分析。“組成”的涵義足夠明確。“集合”的概念本來在產生該悖論前也很明確,但是在推出悖論後,有人開始尋找對策了,有考慮對集合重新定義——包括改換名稱的,有乾脆不予定義如此種種,但實際上都是換湯不換藥的回避策略,集合概念的本質仍然是那個意思——“具有某些屬性的事物的全體”。剩下的只有全稱量詞“所有”。“所有”是個存在至少兩種歧義內容需要具體明確的詞,可以是時間上的“過去、現在、未來”的所有,或者空間上的“存在的”所有,或者是全部“時空”上的所有。按照通行的解釋,明顯是暗指時間上或者全部時空意義上的所有,也就是包括“過去、現在、未來”、從已經“存在的”到將要“存在的”的一切所有——否則就不會包括在“組成”之前還未存在的“所有集合的集合”。

問題是,按照“集合”的本義“具有某種屬性的事物的全體”來理解,對“未來”、“將要存在”的事物——“所有集合的集合”,其屬性究竟如何,是否能夠不言而喻、不加辨析地直接“組成”呢?

三)、理髮師悖論通行解釋的質疑

理髮師悖論經常被理解為羅素悖論的“通俗版”,實際上,後面將述及兩者之間有很大區別。理髮師悖論的內容為

塞維利亞村的男人分為兩類,第一類是自己給自己刮臉的,第二類是自己不給自己刮臉的;該村有一位理髮師定了一條店規,凡是自己刮臉的塞維利亞男人,理髮師就不給他刮臉;凡是不自己刮臉的塞維利亞男人,理髮師則給他刮臉。雖然上面沒提及理髮師是男是女,但是按照當時的習俗以及對問題的存在性考慮,理髮師被默認為男性。

問題是,該理髮師怎麽刮臉?按照通行的理解,如果該理髮師自己給自己刮臉,他就屬於第一類,而根據店規理髮師不應該給自己刮臉;如果理髮師不給自己刮臉,他就屬於第二類,根據店規理髮師就應該給自己刮臉。顯然,無論如何都將導致矛盾。有一些認為該悖論是“假悖論”的說法,如“理髮師是女的”,“理髮師不是塞維利亞人”,“理髮師自己可以永遠不刮臉或者他根本就不長鬍子”,“不存在這個理髮師”,“不存在這樣的店規”等等,毫無疑問,這些不過是自我安慰的逃避。

理髮師悖論的疑難在於,理髮師的店規對自己無法履行。這一疑難表面上看和羅素悖論結構上很相似,因此引發了彭加勒(Poincaré)、霍夫斯塔德(Hofstadter)以及羅素本人,關於自我涉及現象“決不能”、“毫無意義”或者必須“加限制”的論斷,進而產生公理集合論、分支類型論、簡單類型論,但是都被普遍認為是“頭痛醫頭,腳痛醫腳”的應急辦法(當然由此產生的深入研究對現代邏輯的發展功不可沒)。

首先需要對店規的關鍵內容作出理解,也即理髮師店規涉及的對象是誰。從職業服務目標而言,通常的理解,店規本意應該是針對服務對象也即顧客而設的。如果作出這樣的簡單區分問題已經不存在了。如果為了追其究竟,就“故意找茬”地要分析店規也針對理髮師自己情形又如何呢?

如果店規也針對他自己,那就有兩種(實際也只有兩種)情形,一種是對其他男性村民,一種是對他自己。對其他男性村民,比較簡單,任意找一個來問:

“你自己刮臉嗎?”

如果他回答“是”,則屬於理髮師不需要給他刮臉的。

如果他回答“不是”,則屬於理髮師需要給他刮臉的。

另一種情形,是對理髮師自己。悖論的疑難是“理髮師怎麽刮臉”。仍然是給他提問:

“你自己刮臉嗎?”

如果他回答“是”,則可以詰問他按照你的店規你是不能給自己刮臉的。

如果他回答“不是”,則仍然可以詰問他按照店規你是應該給自己刮臉的。

問題是,理髮師如果這麽反問:

“回答‘是’與‘不是’是我自己的意願,制定店規也是我的意願。為什麽你們在我已經選擇了‘是’與‘不是’作為一個意願的情形下,你卻另外要選擇我的另一個意願——店規來理解呢?”

或者,理髮師甚至完全可以這麽詰問:

“店規是我自己定的,具體涵義的解釋應該有我自己的意願決定,而我的意願是既然叫店規也只能是針對我的顧客的,你們憑什麽要把我自己意願之外的內容強加給我呢?”

換言之,在絞盡腦汁苦思理髮師悖論的時候,理髮師的店規的真實意願我們弄清楚了嗎?

四)、格列林-納爾遜悖論通行解釋的質疑

格列林-納爾遜悖論由格列林(K..Grelling)與納爾遜(L.Nelon)與1908年共同提出的。這一悖論認為

某一事物或屬性P如果它本身不屬於該事物或不具備該屬性,則P稱為它謂的(有時稱作“非自狀的”);否則稱為自謂的(有時稱作“自狀的”)。例如“具體”、“火”、“理智”是它謂的,因為它們不具備自身所描述的屬性;而“字”、“中文”、“多音詞”是自謂的,因為“字”自己正是字,“中文”正是中文的,“多音詞”正是多音詞。(如果“自謂的”、“它謂的”多少有些“人為做作”性,也可以用更為直觀的替代詞“符合自己”、“不符合自己”,“對自己來說真實”、“對自己來說不真實”等等詞來代替,其結果沒有什麽分別)。

格列林-納爾遜所提的問題是:“它謂”它謂嗎?    ★★

按照通行的解釋:

如果回答:“它謂”這個詞是它謂的,那麽根據“它謂”的含義,就應該是自謂的。   ★★★

如果回答:“它謂”這個詞是自謂的,那麽根據“自謂”的含義,就應該是它謂的。  

對於那些認為理髮師悖論是“假悖論”的說法,如“理髮師是女的”,“理髮師不是塞維利亞人”,“理髮師自己可以永遠不刮臉或者他根本就不長鬍子”,“不存在這個理髮師”,“不存在這樣的店規”等等,但是,對於“自謂的”、“它謂的”以及“符合自己”、“不符合自己”這一類詞卻是明明白白存在的。由於“自謂的”、“它謂的”過於抽象,儘管可以用“符合自己”、“對自己來說真實”這類詞來替代,理解上方便了,但是對其實質含義的理解仍然比較曲折。麻煩所在似乎也就是被視作悖論的原因,就是“它謂”屬於它謂卻導致應該屬於自謂,而屬於自謂卻又應該屬於它謂。

問題是,對★★★句的理解,說“它謂”是它謂的真的能夠導致“就應該是自謂的”嗎?由於該悖論極為雜糅、“不直觀”從而最難揭露其“悖解”性,因此為了分析的明確性,下面的陳述可能會顯得過於煩瑣(但是又對引出新的思路是必要的,故此不避贅述)。

仔細推敲這個悖論可以發現,該悖論的構成描述上還存在相當大的含義過於籠統問題。在“某一事物或屬性P如果它本身不屬於該事物或不具備該屬性,則P稱為它謂的”的陳述中,“某一事物或屬性P”如果不具體針對“某一名詞或形容詞”,則沒有任何存在的可能性。因為,要判斷“某一事物或屬性P”它本身是否“不屬於該事物或不具備該屬性”,則“某一事物或屬性P”本身必須是關於“事物或屬性”描述的,這樣才能夠判斷它本身是否“不屬於該事物或不具備該屬性”。而關於“事物或屬性”描述的的“事物或屬性”,從概念或語義表述的存在性來看似乎只有名詞和形容詞(當然包括兩者的有些組合)。(事實上,有些資料對該悖論的引用已經直接特指為“形容詞”了

因此,承認“某一事物或屬性”實質上是具體指“某一名詞或形容詞”,是繼續討論的所必要的。從而,該悖論相當於:某一名詞或形容詞P如果它本身不屬於該名詞或形容詞所描述的屬性,則P稱為它謂的(有時稱作“非自狀的”);否則稱為自謂的(有時稱作“自狀的”)。

就每一個具體的名詞或形容詞而言,存在著內在抽象性的“詞義”和外在具體性的“詞形”方面的雙重表現,前者是就所指對象的某一內質屬性的描述,後者是自身存在的多種表像屬性的被描述表現形式。例如:“名詞”在具體方面可以被描述為是:名詞,中文的,兩個字組成的,宋體的,五號字大小的,黑色的,等等;“它謂的”在具體方面可以被描述為是:形容詞,中文的,三個字組成的,宋體的,五號字大小的,黑色的,等等。因而一個具體的名詞或形容詞又存在是對“內質屬性”的描述還是對“表像屬性”的描述的區別。例如:名詞“抽象”是對“內質屬性”的描述,形容詞“樂觀的”是對“內質屬性” 的描述;名詞“多音詞”是對“表像屬性”的描述,形容詞“藍色的”是對“表像屬性”的描述。這樣,那些描述“內質屬性”的詞是不可能“自謂”的,只有描述“表像屬性”的詞才可能是“自謂”的。換言之,對那些描述“內質屬性”的詞可以追問它是“自謂”或“它謂”嗎?或者說引起該悖論悖解的★★句問題還存在嗎?

甚至現在還要倒回去問:該悖論所描述的“某一事物或屬性P如果它本身不屬於該事物或不具備該屬性”中所要求的“屬於”和“具備”是針對“某一事物或屬性”的“內質”方面的還是“表像”方面的亦或兩者兼有呢?

 

3       三、加“律”:基於信念的期求

一)、質疑引出的啓發

對上述典型悖論的質疑,說明對歷來公認的“悖論”的理解,混存著理解者自身存在的未求甚解的混亂理解——悖解;從而也強化了消解悖論新信念:正如詭辯問題不過是對邏輯範疇概念、判斷、推理的錯誤理解或故意歪曲,悖論也可能就是對概念、判斷(後文將明確為陳述)、推理的無意悖解。那麽,容易想到的是,注意避免“錯誤理解或故意歪曲”——嚴格對概念、判斷(後文將明確為陳述)、推理的施用規則——增加新的“約律”——即應當遵守必要的約定,應該是消解悖論的根本途徑。

二)、增加約“律”

1、規域律——對概念

規域律,概念施用的約律,是指每一概念的應用必須規範在其相應的時空存在特徵、性狀屬性範圍(簡稱範域)之內,也即每一概念一經賦予相應的範域,對該範域就不能賦予不相稱的搭配沿用。在特殊語境下,有關概念特定的“時空存在特徵、性狀屬性範圍”可能在共同交流、理解方的默許共認下被適當省略,但只要可能產生歧義,就應當給予確認。

違反規域律將導致概念交叉混淆、屬性搭配不當、成分餘缺、循環定義等邏輯錯誤而引起含義不確、理解分歧等思維錯亂。符合規域律的概念稱作範概念,不符合規域律的概念稱作或(在此選用“或”的用法在構造包涵新約律的邏輯系統中將有特別意義,下同)概念。

示例1:存在時空約束的概念不能夠脫離時空直接進行真假判斷,如:“地球上沒有生命(是假的)(括號內是為了體現傳統邏輯的判斷形式,下同)”。

因為,現代科學已經說明地球生命的產生有一定時間階段,在此之前地球上沒有生命;因此,如果脫離時空地判定“地球上沒有生命是假的”,將會超越科學地得出“地球上一直都有生命的”的錯誤論斷。

示例2:非明確性概念“老人”不能施以確定性應用,如:不能說“五十歲和五十歲以上的人是老人”。因為,作為一個模糊概念,有時一個四十五歲的人可以比一個五十三歲的人看起來更象一個“老人”。

不難從上述內容看出,傳統意義上的“同一律”是對概念的部分范域施與的邏輯約律。實際上,從後文可見傳統邏輯學意義上的悖論,主要是在“同一律”過寬規範下不當應用概念所導致的後果。

2、規述律——對一般陳述(判斷)

規述律,一般陳述(判斷的推廣)施用的約律,是指一般陳述的應用必須規範在其相應的特徵屬性制約範圍之內,具體要求確定性陳述(陳述內容已經明確判定,也即判斷)能夠賦予確定的真假判斷值;預測性陳述(陳述內容正待或尚未確定,簡稱預估)不能賦予確定的真假判斷值。在特殊語境下,有關陳述內容的確定性可能在共同交流、理解方的默許共認下被適當省略,但只要可能歧義,就應當給予確認。

違反規述律將導致臆測斷定、枉下斷言等邏輯混亂而引起的思維誤導。符合規述律的陳述稱作範陳述,不符合規述律的陳述稱作或陳述。

示例:“明天白天X城將不會下雨(是假的)”。顯而易見,對未發生的現象進行“斷定”只能作為參考。

不難從上述內容看出,傳統意義上的“矛盾律”、“排中律”是從一定角度對判斷的邏輯約律,而對預估未加顧及。

3、規演律——對推理

規演律,推理施用的約律,是指根據已有的判斷(前提)推理所得新的判斷(推斷)的屬性、特徵及相關制約關係(簡稱涵屬)必須必然涵在於前提陳述的涵屬之內,也即推斷擁有的涵屬必須必然包涵於前提所具有的涵屬。一般而言,考慮推理過程的緊湊、慎密,前提與推論之間應有承接關連性的中介陳述(中項),在特殊語境下,中項可能在共同交流、理解方的默許共認下被適當省略,但只要可能產生歧義,就應當給予確認。

違反涵演律的推理將導致逾越屬性、特徵、範圍的邏輯錯誤。符合涵演律的推斷稱作推論,不符合涵演律的推斷稱作或斷。

示例1  演繹推理(1)前提:所有學生有指導教師。中項:A是學生。推斷:A學生有指導教師。

示例2  演繹推理(2)前提:有些學生近視。 中項:A是學生。推斷(※):A學生近視。(注※號的為或斷。下同)     

示例3  歸納推理(1)前提:A汽車在R路段出事故,B汽車在R路段出事故,C汽車在R路段出事故,D汽車在R路段出事故。推斷(※):所有汽車在R路段出事故。

示例4  歸納推理(2)前提:A汽車在R路段出事故,B汽車在R路段出事故,C汽車在R路段出事故,D汽車在R路段出事故。推斷:有些汽車在R路段出事故。

示例5  類比推理   前提:A有a,b,c,d屬性,B有a,b,c屬性;推斷(※):A和B沒有差異性特徵,所以B有d屬性。

說明:例1、4中的推斷的涵屬必然包涵於前提的涵屬:“A學生”必然包涵于“所有學生”,“有些汽車”必然包涵於A汽車、B汽車等;例2、3中的推斷的涵屬超出前提的涵屬範圍:“A學生”可能包涵於也有可能不包涵于“有些學生”,未加限制的“所有汽車”超越了A汽車、B汽車等具體列舉;例5中推斷的涵屬缺乏直接理由的附會於前提的涵屬:D屬性可能包涵於也有可能不包涵於B。

不難從上述內容看出,傳統意義上的“充足理由律”是對“規演律”的寬泛涉及。後文可見,對推理的錯誤的施用也是導致對悖論問題產生悖解的根源之一。

 

4   四、解析:脫出於悖論的困惑

下面根據上述約律對典型悖論進行解析,並對相關的變形悖論一併討論。

一)、說謊者悖論解析

說謊者悖論有多種變形。下面逐一分析。

關於我在說謊”,由於“說謊”作為概念其涵義是指“說的話與相對應的事實不符”,而語句中除“說謊”外,僅有的“我在”由於沒有指明需要對應的“事實”,違反“規域律”,犯了屬性搭配不當的錯誤,因而不存在對該句進行真假判斷。

變形之一:“我正在說的話是謊話”。根據前面質疑中的分析(除了違反規域律外),由於說到“我正在說的話”時話還沒有說完,所以相當於是預測性陳述,也即該變形句不能賦予真假判斷值。否則,強行判斷則違反規述律。

變形之二:“我是說謊者”。由於該句未明確“是”的“過去、現在或將來”等時間範圍,違反規域律,無法給予真假值判斷。如果具體指過去,當說話人過去的確是個“說謊者”,則該句毫無疑問是真話;如果具體指現在或將來,則該句屬於預測性陳述,不能賦予真假值。

變形之三:一張卡片,一面寫“本卡片的反面是真話”,另外一面寫“本卡片的反面是假話”。分析方法同上,首先“真話”“假話”的對應事實沒有;其次,在先寫的一面之時,對面沒有“話”,因而屬於預測性陳述。

其他變形分析方法類似,從略。

二)、羅素悖論解析

由對該悖論的質疑部分可見,★句中的詞“組成”如果理解為只對現有已經存在的“元件”來“組成”,由於在說現有存在的“一切不是自己分子的類”時,“所組成的類”還沒有存在,因此“所組成的類”(X)顯然不屬於“一切不是自己分子的類”中的類,從而不存在問X是不是自己的分子。

如果把“組成”理解為也包括對正在或將要存在的“元件”來“組成”,那麽作為將要存在的類X存在兩種可能(默認承認“排中律”和“矛盾律”),“是自己分子的類”、“不是自己分子的類”,如要歸為哪一類也即相當於要明確:“是自己分子的類”和“不是自己分子的類”是真或是假。而要明確兩句的真假,就違反規述律,因為此時的類X作為正在或將要存在的元件是預測性陳述的結果,不存在真假值判斷。

實際上,按照“組成”的本意和語境來理解“一切不是自己分子的類所組成的類”,應該是指現有存在的“一切不是自己分子的類”所組成的類,因而不應該包括自己。

因此,“所有集合組成的集合”,也即是所有現有存在的“集合”組成的“集合”,也就不需要問是否包涵自己。

羅素悖論也有一些變形(實際上,不象通常理解的包括羅素本人的理解,“理髮師悖論”是一通俗版,見下文),如“圖書目錄列示悖論”中的“自身不列入的目錄”*(《奇異的循環》 67頁),“密列曼諾夫悖論”中的“一切有底集所構成的集”**(辭典 487頁),“布拉-福蒂悖論”中的“所有序數構成的良序集”***等(辭典 8頁),沈有鼎先生構造的“無根據和有根據悖論”、“循環與非循環悖論”****等(《數學基礎概論》 100頁),分析方法類似,從略。

三)、理髮師悖論解析

由對該悖論的質疑部分可見,關鍵在於“店規”對理髮師自己如何適用。(實際上,該悖論本身除了為明確是否適用理髮師自己外,還存在問題,也即“店規”中的“自己刮臉”是指過去只要有過“自己刮臉”行為的,還是將來只要存在“自己刮臉”行為的也沒有明確。考慮到分析上的簡便和已經足夠說明,後一問題不再細究。)

實際上,按照語境來理解,所謂“店規”是告知顧客的,理所當然是針對顧客適用的。如果這樣,悖論就已經不存在了。麻煩在於,對“故意找茬”的人來說,“店規”上未曾明確,也就可以適用于理髮師本人。所以,現在只好按照這個“理解”來解釋。

對於“故意找茬”的人問理髮師:“你怎麽刮臉?”

按照規域律“每一概念的應用必須規範在其相應屬於的時空存在特徵、性狀屬性範圍(簡稱範域)之內”的要求,理髮師應該如此應對:

“針對‘店規’中的刮臉行為來說,我有‘理髮師’和‘非理髮師’雙重身份,你在問這個問題時能否明確是針對哪一個身份的?”

這樣,“故意找茬”的人也應該給予明確回答,但事實上只能回答為:“分不清。”

所以,理髮師可以回答:

“既然你分不清,那也只好由我根據自己的行為來判斷。由於,我從來沒有、也不必要明確對自己收刮臉費,因而對我自己而言也談不上是‘理髮師’,就是說,當我自己在刮臉的時候,我永遠只能作為‘非理髮師’的我,給我自己刮臉。換句話說,就算按照‘店規’來對照,我也是說‘我自己刮臉’,因為此時不存在‘理髮師’的我,也就沒有什麽‘理髮師’在給我‘刮臉’而按店規卻不應該給我‘刮臉’的所謂矛盾了。”

“故意找茬”的人還有什麽可說的呢?

由上分析可見,“理髮師悖論”涉及的是一個“個體”具有“雙重”身份,而不是“所有集合組成的集合”類的把“尚未存在”的拿來“組成”,兩者的區別顯然很大。

四)、格列林-納爾遜悖論解析

該悖論也被說成是“同羅素悖論有‘平行’關係的”、“也可以說是羅素悖論的一個翻版”,實際上,這類說法是有問題的。從上文質疑部分和下文可見,正如“理髮師悖論”和羅素悖論有很大差別一樣,該悖論也有自己的特有的“悖解”思維模式。

由對該悖論的質疑部分可見,一個詞作為實質上的一個概念(該問題的深入探究又將是一個新的課題)的具體含義決定了它的使用範圍,或者說詞作為廣義上的概念也應該符合規域律,也即該詞的“應用必須規範在其相應屬於的時空存在特徵、性狀屬性範圍(簡稱範域)之內”。

對於該悖論而言,從明確範域的角度來說,語句陳述中的“某一事物或屬性P如果它本身不屬於該事物或不具備該屬性,則P稱為它謂的;否則稱為自謂的”,應該明確表達為,“某一描述表像屬性的名詞或形容詞P如果它自己所具有的表像屬性不屬於它所描述的表像屬性,則P為它謂的;否則稱為自謂的”。

這樣,根據規域律,由於“它謂”顯然是一個非“描述表像屬性”的詞,從而沒有必要也不能夠考察它是否是自謂或它謂,也即關於“它謂”是否是自謂或它謂不存在真假值判斷。

事實上,從詞義內容看,“自謂”是一個指示操作過程的詞,相當於揭示“.....屬於....”、“....具備....”之類的關係,或者說“自謂”、“它謂”只能針對一個過程,而不能用來針對一個具體詞——因而不可以對任何一個孤立的詞來說,它是不是、屬不屬“自謂”、“過程”、“證明”、“大於”等等。換言之,如果要硬性、固執、不考慮含糊後果地進行平凡化劃分的話(因為非表像屬性描述的“某一事物或屬性P”不可能是自謂的),“自謂”、“它謂”都是它謂的。(毫無疑問,這種“固執、不考慮含糊後果地”的思維模式,就未必能夠保持思維的表面“無矛盾”性)。

也許有人還會說,“自謂”是它謂的本身不就是矛盾的嗎?

這是一個有趣的現象,只要給出看似矛盾卻可以認可的不矛盾的例子就可以打消類似的疑問了:

1、“非名詞”是名詞;“非形容詞的”是形容詞的。

2、“非中文的”是中文的;“非多音詞”是多音詞。

上述示例也給出一個啓發,一眼看得見的“矛盾”不見得是真矛盾的,一眼看不出的“矛盾”反倒正是糾纏不清的真矛盾。實際上,對問題悖解所暴露的人類思維的誤區的奇異特徵,也正是千百年來人類對悖論問題進行百折不撓的探究的魅力根源。

五)、另外與典型悖論存在特徵差異的兩例悖論解析

之所以對下列兩例悖論作特別解析,主要在於其作為“悖論”,揭示了一個難以置信的“悖”理:素以高度慎密、睿智沾沾自喜的人類思維,一旦迷失於“悖論”怪圈,將會表現出多麽低劣的粗陋、迂拙。

1、關於Richard 悖論

Richard 悖論的核心部分是:

現在把所有的正整數分成兩組,第一組包括所有那些(至少有一種方法)可以用不多於100個字母描寫出來的數,第二組包括所有那些不論怎樣描寫都最少是101個字母的數。用100個或更少的字母只能描寫有限多個數,因為用不多於100個字母最多只能有27100個表達式(而且其中有些是沒有意義的),於是在第二組中就有一個最小的整數。它可以用下列詞組來描寫:“the least integer not describable in one hundred or fewer letters”(不能用100個或更少的字母描寫出來的最小的整數)。但是這一詞組中的字母就少於100個。因此,不能用100個或更少的字母描寫出來的最小的整數,就用少於100個字母描寫出來了。

這個悖論的通行理解模式是:由按要求所“不能”的,而實際卻“能”,從而構成自相矛盾的悖論。

根據規域律,也即每一概念的應用必須規範在其相應的時空存在特徵、性狀屬性範圍(簡稱範域)之內之要求,我們要問:

一個具體的概念“整數”,可以被定義為“the least integer not describable in one hundred or fewer letters”(不能用100個或更少的字母描寫出來的最小的整數)嗎?如果回答是,那麽,這個數是偶數還是奇數?它是小於10000還是不小於10000?

實際上,按照具體的整數概念,“the least integer not describable in one hundred or fewer letters”(不能用100個或更少的字母描寫出來的最小的整數)並不是一個具體外延上的整數,而只是對一個(也許是多個)符合條件的數的內涵性指稱。換言之,這個悖論的悖解根源是:把“the least integer not describable in one hundred or fewer letters”(不能用100個或更少的字母描寫出來的最小的整數)的內涵上的理論存在,錯誤地當作外延上的具體存在來使用了。從悖論問題的曲折、複雜性這一角度來說,該悖論是最淺顯的缺乏“悖論”意味的。

 

2、亨貝爾悖論

亨貝爾悖論的核心部分是

事實影響定律——所有的A都是B——的概率有且僅有兩種方式:一個既是A又是B的實例,增加概率,確證定律;一個雖是A但不是B的實例則反證定律。由此,意味著非A也非B的東西都構成對“所有的A都是B”的確證實例,例如,所有不是天鵝也不白的東西都能確證“天鵝皆白”。

撇開該悖論最為漏洞滿目的悖論中的其他內容不談(如:“有且僅有”的依據,“確證”的誇張使用等),陡然而來的“由此,意味著非A也非B的東西都構成對‘所有的A都是B’的確證實例”,到底是“由”什麽“此”、又如何就“意味著”有關“確證實例”的呢?

根據規演律,由已有的判斷(前提)推理所得新的判斷(推斷)的屬性、特徵及相關制約關係(簡稱涵屬)必須必然涵在於前提陳述的涵屬之內,也即推斷擁有的涵屬必須必然包涵於前提所具有的涵屬的推理要求,“……由此,意味著……”這一推理過程的結果“非A也非B的東西都構成對‘所有的A都是B’的確證實例”所具有的“制約關係”並未“必然涵在於前提陳述的涵屬之內”,從而推理結果本身是不可靠的“或斷”而非可靠的“推論”,因此,該悖論自然解體。從悖論問題的陳述清晰、結構嚴謹性角度來看,該悖論是最粗糙的缺乏“悖論”意味的。

   

六)、“哥德爾公式”解析

由於哥德爾不完全性定理已被還原為一個精致了的“說謊者悖論”式的悖論(參見另文“質疑精致的‘謊言’——哥德爾不完全性定理及數學系統品性問題芻議”),而不是所謂“儘管和悖論有點相似,但並非悖論” ,因此,不妨換一種方式對它進行一番解析。哥德爾構造的公式U產生過程如下

 “ 考慮w f.

      "x~ W (x1x2

   令p是這個w f.Gödel數,並且考察用0(p)代換x1所得的w f.

      "x~ W(0p)x2

   U表示這最後的 w f。

   ……W是W 的解釋,於是U解釋為:

      ‘對每一nÎ DNW(p,n)不成立

   進而變成:

      ‘對每一nÎ DN,並非p是w f. A (x1)的Gödel數,x1A (x1)中自由出

   現。而nA (0p))在N  中證明的Gödel數。’

   U的解釋等價於:

      ‘對每一nÎ DNn不是w f. U在N  中證明的Gödel數。

   因此,在某種意義下,w f. U可以認為是斷定它自己是不可以證明的。

由於哥德爾機警地用“不可證的”替代“假的”,從而有意或無意地使得對他構造的公式及其定理的“悖解”直觀性隱蔽了、複雜性加大了。為了敍述方便,僅就上述最後結論性解釋進行分析(注意,哥德爾不完全性定理是以相容性為條件的):

    U斷定它自己是不可證明的。

根據規域律,每一概念的應用必須規範在其相應的時空存在特徵、性狀屬性範圍(簡稱範域)之內,由於作為概念“可證明的”或“不可證明的”其含義應當是指:“存在”(對應“可證明的”)或“不存在”( 對應“不可證明的”)由某些公理或定理經過一系列符合變形規則的變形,形成一個特定公式系列,最終可以導出所指定的合式公式。這就是說,概念“可證明的”或“不可證明的”的具體使用必須在已經確定“存在”或“不存在”相關特定公式系列的基礎上才符合其概念的範域。換言之,未經作出任何有關“存在”或“不存在”相關特定公式系列的確定性說明,而直接構造:

     U斷定它自己是不可證明的。

本身已經違反規域律,名為“構造”實為毫無根據的憑空捏造——也即有可能U根本不存在。

對哥德爾不完全性定理比較熟悉的人可能會想:哥德爾對W (x1x2是已經嚴格證明其遞歸可表達的。

的確如此,哥德爾對W (x1x2已經嚴格證明其遞歸可表達的準備工作本身看起來沒有問題。但是,他並沒有嚴格證明“可表達的”就是必然存在的。事實上,“可表達的”根本就不是必然存在的,比如,算術“+”(加法)和算術“=”(等號),按哥德爾的說法顯然是“可表達的”(參見 ),然而,下列“表達”中的自然數U根本就不存在:

(1) U = U + 1 ;(不存在U符合該等式)

(2) U = 2001 - U ;(存在U符合等式,但U是小數而不是自然數)

 

5    五、結語:引薦包涵新律的系統

從對上述悖論解析的實際效果看,增加的約“律”對悖論是有“療效”的(對其他未列出的悖論讀者可以自己按類似的方法試解),但是,由於這種“療效”是孤立地提出來的,難免給人留有這樣的疑問:這種“療效”會不會是頭痛醫頭、腳痛醫腳的治標不治本的“偏方”?

這種疑問是完全自然的,因為悖論研究的歷史上,各種局部有效的“偏方”實在是夠多了,甚至可以說:意圖消解悖論的方法比悖論本身多得多。這就意味著,消解悖論的方法如果僅僅孤立地停留在單純消解個別悖論的層面上,其消解就未必有多大創新的價值了——不過是又多了一種至多顯得更為廣泛一些的方法。換言之,如果一種解決問題的方法——消解悖論的方法屬於一個相對完整的系統,而這個系統能夠不僅能夠解決問題——消解悖論,而且能夠同時指明為什麽可以這麽解決——消解、甚至更為判決性地指出是否會產生新的問題——悖論,這樣所要解決的問題——悖論問題才算得到系統性地解決;簡言之,邏輯地消解悖論對重塑人類思維健全性的信心無疑是極為重要的,然而更為重要的是健全消弭悖論的邏輯系統。

 

引注書目及其他參考文獻:

⑴ 楊熙齡著,《奇異的循環——邏輯悖論探析》,8頁,遼寧人民出版社,1986年(順注,本文部分資料第一來源也屬於該書,或者說,本人對悖論問題的興趣也起源於該書,特此致謝)

⑵《哲學大辭典(邏輯學卷)》,363頁,上海辭書出版社,1984年

⑶ 馬玉珂主編,《西方邏輯史》,360頁,中國人民大學出版社,1985年

⑷ 夏征農主編,《辭海》,2258頁,上海辭書出版社,1989年(縮印本)

⑸ 同注⑵,410頁

⑹ 同注⑵,377頁

⑺ 朱梧、肖奚安著,《數學基礎概論》, 99頁,南京大學出版社,1996年;注⑴,22 頁

[美] M.克萊因著,《古今數學思想(四)》,290頁,北京大學數學係數學史翻譯組,上海科學技術出版社,1981年出版《思想》 290頁

⑼ 同注⑵, 235頁

參見朱水林著,《形式化:現代邏輯的發展》,176頁,人民出版社,1987年

[]A.G.哈密爾頓著,《數學家的邏輯》,,192、193頁,駱如楓等譯,商務印書館,1989年出版

[德]埃德蒙·胡塞爾著,路德維希·蘭德格雷貝編輯,《經驗與判斷》,鄧曉芒、張廷國譯,生活·讀書·新知三聯書店出版,1999年

⒀ 夏基松、鄭毓信著,《西方數學哲學》,人民出版社,1986年

⒁ 楊百順主編,《現代邏輯啓蒙》,中國青年出版社,1989年

[美]M·K·穆尼茨著,《當代分析哲學》,吳牟人、張汝倫、黃勇譯,復旦大學出版社,1986年

[英]約翰·R·格利賓著,《尋找薛定諤的貓·量子物理和真實性》,張廣才 等譯,海南出版社,2001年

 

* 同 ⑴ , 67頁

** 同 ⑵ , 487頁

*** 同 ⑵ , 8頁

        **** 同 ⑺ , 100頁

 

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